Question

如图，在?ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，点P在线段GF上，则△PHE与?ABCD的面积的比值是

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,三角形的面积,三角形中位线定理,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：连接BD，根据三角形中位线得出GF∥BD，HF∥BD，GF=

1

2

BD，EH=

1

2

BD，推出△CGF∽△CDB，设△CBD的边BD上的高是h，得出平行线BD和GF间的距离是

1

2

h，平行线EH和BD间的距离是

1

2

h，求出△PHE的边HE上的高，求出平行四边形ABCD的面积和△PHE的面积即可．

解答：解：连接BD，
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴GF∥BD，HF∥BD，GF=

1

2

BD，EH=

1

2

BD，
∴△CGF∽△CDB，
设△CBD的边BD上的高是h，
则平行线BD和GF间的距离是

1

2

h，
同理平行线EH和BD间的距离是

1

2

h，
∴△PHE的边HE上的高是

1

2

h+

1

2

h=h，
∴平行四边形ABCD的面积是S_△ABD+S_△CBD=2S_△CBD=2×BD×h×

1

2

=BDh，
△PHE的面积是

1

2

EH×h=

1

2

×

1

2

BD×h=

1

4

BDh，
∴△PHE与?ABCD的面积的比值

1

4

，
故答案为：

1

4

．

点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，三角形的中位线，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，本题题型较好，但有一定的难度．