Question

8．如图所示，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），P是抛物线的顶点，连接BC，CP，BP．求：
（1）抛物线的函数关系式及点P的坐标；
（2）△BCP的面积．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x-1）（x-3），再把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式可得点P的坐标；
（2）BC交直线x=2于点Q，如图，利用待定系数法可求出直线BC的解析式为y=-x+3，则可得到Q点的坐标为（1，2），然后根据三角形面积公式，利用S_△BCP=S_△CPQ+S_△BPQ进行计算即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），
把C（0，3）代入得a•（-1）•（-3）=3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x-1）（x-3），即y=x²-4x+3，
因为y=（x-2）²-1，
所以抛物线顶点P的坐标为（2，-1）；
（2）BC交直线x=2于点Q，如图，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=2时，y=-x+3=1，则Q点的坐标为（1，2），
所以S_△BCP=S_△CPQ+S_△BPQ=$\frac{1}{2}$×（1+1）×2+$\frac{1}{2}$×（1+1）×1=3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．利用面积的和差计算△BCP的面积是解决本题的关键．