Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8分别交x轴，y轴于点A，B，点M为线段AB的中点，点C在线段OA上，且OC是方程

3-x

x

=

x

x+2

的一个根．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线CM的解析式；
（3）在直线CM上是否存在这样的点P，使得以A，C，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）解分式方程求出x的值，从而得到OC的长度，然后写出点C的坐标即可；
（2）根据直线解析式求出点A、B的坐标，然后求出点M的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（3）过点M作MN⊥x轴于N，求出CN、MN，再利用勾股定理列式求出CM，分①CP=AC时，过点P作PD⊥x轴，然后求出CD、PD，再分两种情况求出OD，然后写出点P的坐标即可；②AP=CP时，根据等腰三角形三线合一的性质求出点P的横坐标，与纵坐标的长度，然后写出即可；③AC=AP时，过点A作AE⊥CM于E，利用∠ACM的余弦求出CE的长，从而得到CP的长度，然后解直角三角形求出点P的坐标即可．

解答：解：（1）方程两边都乘以x（x+2）去分母得，x²=（x+2）（3-x），
整理得2x²-x-6=0，
解得x₁=2，x₂=-

3

2

，
所以OC=2，
点C的坐标为（2，0）；

（2）令x=0，则y=8，
令y=0，则-x+8=0，解得x=8，
∴点A（8，0），B（0，8），
∵点M为线段AB的中点，
∴点M（4，4），
设直线CM的解析式为y=kx+b，
则

2k+b=0 4k+b=4

，
解得

k=2 b=-4

，
∴直线CM的解析式为y=2x-4；

（3）过点M作MN⊥x轴于N，则CN=4-2=2，MN=4，
由勾股定理得，CM=

22+42

=2

5

，
∵A（8，0），C（2，0），
∴AC=8-2=6，
①CP=AC时，过点P作PD⊥x轴，
CD=6×

2

2 5

=

6 5

5

，
PD=6×

4

2 5

=

12 5

5

，
点P在点C的左边时，OD=CD-OC=

6 5

5

-2，
点P₁（2-

6 5

5

，

12 5

5

），
点P在点C的右边时，OD=CD+OC=

6 5

5

+2，
点P₂（

6 5

5

+2，

12 5

5

）；
②AP=CP时，点P的横坐标为OC+

1

2

AC=2+

1

2

×6=5，
x=5时，y=2×5-4=6，
点P₃（5，6）；
③AC=AP时，过点A作AE⊥CM于E，
CE=AC•cos∠ACM=6×

2

2 5

=

6 5

5

，
∴OP=2CE=

12 5

5

，
点P的横坐标为2+

12 5

5

×

2 5

5

=

34

5

，
点P的纵坐标为

12 5

5

×

4 5

5

=

48

5

，
点P₄（

34

5

，

48

5

），
综上所述，存在点P（2-

6 5

5

，

12 5

5

）或（

6 5

5

+2，

12 5

5

）或（5，6）或（

34

5

，

48

5

），使得以A，C，P为顶点的三角形为等腰三角形．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了解分式方程，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，难点在于（3）根据腰长的不同分情况讨论．