Question

已知∠MON，OA平分∠MON．
（1）在图1中，若∠MON=120°，∠ABO=∠ACO=90°，求证：OB+OC=OA；
（2）在图2中，若∠MON=120°，∠ABO+∠ACO=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中，若∠MON=120°，∠ABC=60°，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）由OA为∠MON的平分线，利用角平分线定理得到AB=AC，且得到∠AOM=∠AON=60°，在直角三角形AOB与AOC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到OB=OC=

1

2

OA，即可得到OB+OC=OA；
（2）（1）中的结论仍然成立，即OB+OC=OA，理由为：过A作AD⊥OM，AE⊥ON，利用角平分线定理得到AD=AE，同理得到OD+OE=OA，再利用同角的补角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，且AD=AE，利用AAS得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形对应边相等得到BD=EC，等量代换即可得证；
（3）三角形ABC为等边三角形，理由为：在OM上取点D，使OD=OA，在AD上取点E，使OB=EA，根据∠AOD=60°，得到三角形AOD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到OD=DA，∠OAD=∠ODA=60°，根据OB=AE，得到三角形BED为等边三角形，利用等式的性质得到∠EAB=∠OBC，再由∠AEB=∠BOC，且OB=AE，利用ASA得到三角形ABE与三角形BOC全等，利用全等三角形的对应边相等得到AB=BC，再∠ABC=60°，即可得到三角形ABC为等边三角形．

解答：解：（1）∵∠MON=120°，OA平分∠MON，AB⊥OM，AC⊥ON，
∴∠AOM=∠AON=60°，AB=AC，
在Rt△AOB和Rt△AOC中，∠CAO=∠BAO=30°，
∴OB=OC=

1

2

OA，
则OB+OC=OA；

（2）过A作AD⊥OM，AE⊥ON，
∵OA平分∠MON，∠MON=120°，
∴AD=AE，∠AOM=∠AON=60°，
在Rt△AOD和Rt△AOE中，∠DAO=∠EAO=30°，
∴OD=OE=

1

2

OA，
∴OD+OE=OA，
∵∠ABD+∠ABO=180°，∠ABO+∠ACO=180°，
∴∠ABD=∠ACO，
在△ABD和△ACE中，

∠ADB=∠AEC=90° ∠ABD=∠ACE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE，
则OB+OC=OB+OE+EC=OB+OE+BD=OD+OE=OA；

（3）在OM上取点D，使OD=OA，在AD上取点E，使OB=EA，
∵OA平分∠MON，∠MON=120°，
∴∠MOA=60°，
∴△AOD为正三角形，
∴OD=DA，∠OAD=∠ODA=60°，
∵OB=AE，
∴AD-AE=OD-OB，即DB=DE，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠DEB=∠DBE=60°，
∴∠AEB=∠BOC=120°，
∵∠ABC=60°，
∴∠EAB+∠EBA=60°，∠EBA+∠OBC=60°，
∴∠EAB=∠OBC，
在△AEB和△BOC中，

∠AEB=∠BOC OB=EA ∠EAB=∠OBC

，
∴△AEB≌△BOC（ASA），
∴AB=BC，
则△ABC为正三角形．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．