Question

16．如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB=4，∠E=75°，则CD的长为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图连接OC、OD，CD与AB交于点F．首先证明∠OFD=60°，再证明∠FOC=∠FCO=30°，求出DF、CF即可解决问题．

解答 解：如图连接OC、OD，CD与AB交于点F．

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{DB}$，
∴OD⊥AB，
∵DE是切⊙O切线，
∴DE⊥OD，
∴AB∥DE，∵∠E=75°，
∴∠ABC=∠E=75°，∠CAB=15°，
∴∠CFB=∠CAB+∠ACF=15°+45°=60°，
∴∠OFD=∠CFB=60°，
在RT△OFD中，∵∠DOF=90°，OD=2，∠ODF=30°，
∴OF=OD•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，DF=2OF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=30°，
∵∠COB=∠CAB+∠ACO=30°，
∴∠FOC=∠FCO，
∴CF=FO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=CF+DF=2$\sqrt{3}$，
故选C．

点评 本题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形性质的应用，能求出DF、OF是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．