Question

17．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE²+DF²=AF²+DE²．其中正确的是（　　）

• A． ②③
• B． ②④
• C． ②③④
• D． ①③④

Answer 1

分析 根据角平分线性质求出DE=DF，证△AED≌△AFD，推出AE=AF，再一一判断即可．

解答 解：根据已知条件不能推出OA=OD，∴①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF，∴②正确；
∵∠BAC=90°，∠AED=∠AFD=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE=AF，
∴四边形AEDF是正方形，∴③正确；
∵AE=AF，DE=DF，
∴AE²+DF²=AF²+DE²，∴④正确；
∴②③④正确，
故选C．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的判定，角平分线性质的应用，能求出Rt△AED≌Rt△AFD是解此题的关键．