Question

5．已知，直线MN是等边△ABC底边BC的中垂线，点P在直线MN上，且使△PAB、△PAC、△PBC都是等腰三角形，满足上述条件的点P的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出CB的垂直平分线，首先△ABC的外心满足，再根据圆的半径相等，以点A为圆心，以AB长为半径画圆，CB的垂直平分线相交于两点，分别以点C、B为圆心，以AC长为半径画圆，与CB的垂直平分线相交于一点，再分别以点C、B为圆心，以CB长为半径画圆，与⊙A相交于两点，即可得解．

解答 解：如图所示，作BC的垂直平分线，①△ABC的外心P₁为满足条件的一个点，
②以点A为圆心，以AB长为半径画圆，P₂、P₃为满足条件的点，
③分别以点C、B为圆心，以AB长为半径画圆，P₄为满足条件的点，
综上所述，满足条件的所有点P的个数为4．
故选D．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观．