Question

17．如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆O于点E，DF切半圆O于点F，∠B=45°．
（Ⅰ）求∠D的大小；
（Ⅱ）若OC=CE，BF=2$\sqrt{2}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先证明DF∥AB，再根据∠D+∠DCO=180°，DC⊥AB即可解决问题．
（Ⅱ）在RT△BOF中，求出OF，在RT△EOC中求出CE，即可解决问题．

解答 解：（Ⅰ）∵DF是⊙O切线，
∴DF⊥OF，
∴∠DFO=90°，
∵OB=OF，
∴∠OFB=∠B=45°，
∴∠FOB=180°-∠OFB-∠B=180°-45°-45°=90°，
∴∠DFO=∠FOB，
∴DF∥AB，
∴∠D+∠DCO=180°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCO=90°，
∴∠D=90°．
（Ⅱ）如图，连接OE，在RT△OBF中，sinB=$\frac{OF}{BF}$，
∴OF=BFsinB=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
在RT△ECO中，∵OC=CE，设OC=CE=x，
∵OE=OF=2，
∴x²+x²=2²，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴EC=$\sqrt{2}$，
∵∠D=∠DFO=∠DCO=90°，
∴四边形DCOF是矩形，
∴CD=OF=2，
∴DE=CD-EC=2-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查切线的性质、平行线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，属于基础题，中考常考题型．