Question

12．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）是探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；
（3）若tan∠F=$\frac{1}{2}$，求cos∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）先判断出△OAP≌△OBP，再判断出∠OQP=90°即可；
（2）先由射影定理得到OA²=OD×OP，再根据OA=$\frac{1}{2}$EF，代入，化简即可；
（3）根据∠F的正切，设出BD，表示出FD=2a，AD=a，DE=$\frac{1}{2}$a，EF=$\frac{5}{2}$a，得到AC=$\frac{3}{2}$a即可．

解答 解：（1）如图，

连接OA，
∵PD⊥AB，
∴OP垂直平分AB，
∴PA=PB，OA=OB，
∴△OAP≌△OBP，
∴∠OAP=∠OBP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∴∠OQP=90°，
∵点B在⊙O上，
∴BP与⊙O相切，
（2）EF，OD，OP间的数量关系为EF²=4OD×OP，
理由：∵∠OAP=90°，AD⊥OP，
∴OA²=OD×OP，
∵OA=$\frac{1}{2}$EF，
∴OD×OP=$\frac{1}{4}$EF²，
∴EF²=4OD×OP，
（3）∵tanF=$\frac{1}{2}$，
设BD=a，
∴FD=2a，AD=a，DE=$\frac{1}{2}$a，EF=$\frac{5}{2}$a，
∴OD=$\frac{3}{4}$a，
∴AC=$\frac{3}{2}$a，
∵BC=EF=$\frac{5}{2}$a
∴cos∠ACB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\frac{3}{2}a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{3}{5}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，切线的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是找出线段间的关系．