Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，点B的坐标为（m，-2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求S_△AOC的值．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）过A作AE⊥X轴于E，由tan∠AOE=

1

3

，得到OE=3AE，根据勾股定理即可求出AE和OE的长，即得到A的坐标，代入双曲线即可求出k的值，得到解析式；把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出B的坐标，把A和B的坐标代入一次函数的解析式即可求出a、b的值，即得到答案；
（2）求出C的坐标，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：解：（1）过A作AE⊥x轴于E，
tan∠AOE=

1

3

，
∴OE=3AE，
∵OA=

10

，由勾股定理得：OE²+AE²=10，
解得：AE=1，OE=3，
∴A的坐标为（3，1），
A点在双曲线上，
∴1=

k

3

，
∴k=3，
∴双曲线的解析式y=

3

x

．
B（m，-2）在双曲y=

3

x

，
∴-2=

3

m

，
解得：m=-

3

2

，
∴B的坐标是（-

3

2

，-2），
代入一次函数的解析式得：

3a+b=1 - 3 2 a+b=-2

，
解得：

a= 2 3 b=-1

．
故一次函数的解析式为：y=

2

3

x-1．

（2）∵y=

2

3

x-1，
当y=0时，x=

3

2

，
∴C（

3

2

，0），
∴OC=

3

2

，
∴S_△AOC=

1

2

×

3

2

×1=

3

4

．
故S_△AOC的值

3

4

．

点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义，三角形的面积，用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求正比例函数的解析式，勾股定理等知识点，综合运用这些知识进行计算是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．