Question

如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，点F在AB的延长线上，且∠BCF=∠A．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，DB=4．求sin∠D的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠FCB+∠OCB=90°，进而得出即可；
（2）利用圆周角定理以及锐角三角函数关系得出sinD=sinA=

BC

AB

求出即可．

解答：（1）证明：连接CO，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=CO=OB，
∴∠A=∠OCA，∠OCB=∠OBC，
∴∠A+∠OCB=90°，
又∵∠BCF=∠A，
∴∠FCB+∠OCB=90°，
∴直线CF是⊙O的切线；

（2）解：∵⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，
∴BC=BD，
∵⊙O的半径为5，DB=4，
∴AB=10，BC=4，
∵

BC

=

BC

，
∴∠A=∠D，
∴sinD=sinA=

BC

AB

=

4

10

=

2

5

．

点评：此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理和锐角三角函数关系等知识，得出sinD=sinA是解题关键．