Question

已知抛物线y=

1

2

x2+bx经过点A（4，0）．设点C（1，3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD-CD|的值最大，则D点的坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．

解答：解：∵抛物线y=

1

2

x2+bx经过点A（4，0），
∴

1

2

×4²+4b=0，
∴b=-2，
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-2x=

1

2

（x-2）²-2，
∴抛物线的对称轴为x=2，
∵点C（1，3），
∴作点C关于x=2的对称点C′（3，3），
直线AC′与x=2的交点即为D，
因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD-CD|＜AC．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD-C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；
设直线AC′的解析式为y=kx+b，
得

4k+b=0 3k+b=3

，
解得：

k=-3 b=12

，
∴直线AC′的解析式为y=-3x+12，
当x=2时，y=6，
∴D点的坐标为（2，6）．
故答案为：（2，6）．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．