Question

16．如图，以锐角△ABC的最短边AB的中点O为圆心，AB长为直径作⊙O，交BC于E，连接AE，半径OD⊥弦AE于G，连接AD，BD．
（1）若弦AE=12，OG=2.5，求⊙O的半径及弦BE的长；
（2）∠ABF+∠BAF与∠ADF的大小关系，并说明理由；
（3）若$\frac{{{S_{△BFE}}}}{{{S_{△BOD}}}}=\frac{2}{5}$，求$\frac{FB}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）易证OG是△ABE的中位线，即可得到BE的值，然后在Rt△AEB中运用勾股定理即可求出AB，从而可求出⊙O的半径；
（2）根据圆周角定理可得∠ADB=∠AEB=90°，由此可得∠BFE＜∠ADB．根据三角形外角的性质可得∠ABF+∠BAF=∠BFE，即可得到∠ABF+∠BAF＜∠ADB；
（3）易证∠OBD=∠ODB=∠DBC，从而可证到△BFE∽△BAD，根据相似三角形的性质可得$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BAD}}$=（$\frac{BF}{AB}$）²，要求$\frac{FB}{AB}$的值，只需求$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BAD}}$，由O为AB中点可得S_△BOD=$\frac{1}{2}$S_△ABD，结合条件即可解决问题．

解答 解：（1）∵OD⊥AE，∴AG=GE．
又∵OA=OB，
∴OG∥BE，OG=$\frac{1}{2}$BE．
∵OG=2.5，∴BE=5．
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
∴⊙O的半径为$\frac{13}{2}$，弦BE的长为5；

（2）∠ABF+∠BAF＜∠ADB．
理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴∠BFE＜90°，
∴∠BFE＜∠ADB．
∵∠ABF+∠BAF=∠BFE，
∴∠ABF+∠BAF＜∠ADB；

（3）∵O为AB中点，
∴S_△BOD=$\frac{1}{2}$S_△ABD．
∵$\frac{{{S_{△BFE}}}}{{{S_{△BOD}}}}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BAD}}$=$\frac{1}{5}$．
∵OB=OD，OD∥BE，
∴∠OBD=∠ODB=∠DBC．
又∵∠ADB=∠AEB=90°，
∴△BFE∽△BAD，
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BAD}}$=（$\frac{BF}{AB}$）²=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了垂径定理、三角形中位线定理、圆周角定理、勾股定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证到△BFE∽△BAD是解决第（3）小题的关键．