Question

16．如图，在Rt△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°．点P是△ABC外角∠BCN的角平分线上一个动点，点P′是点P关于直线BC的对称点，连结PP′交BC于点M、BP′交AC于点D，连结BP、AP′、CP′．

（1）若四边形BPCP′为菱形，求BM的长；  
（2）若△BMP′∽△ABC，求BM的长；
（3）若△ABD为等腰三角形，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的对角线互相垂直且互相平分进而得出答案；
（2）利用相似三角形的性质得出BM=P′M，∠BMP′=90°，再利用对称的性质以及锐角三角函数关系求出答案；
（3）分别利用当AB=AD时以及当AD=BD时和当AB=BD时求出即可．

解答 解：（1）∵四边形BPCP′为菱形，
∴BM=MC=$\frac{1}{2}$BC=3；

（2）∵△BMP′∽△ABC，AB=BC=6，∠ABC=90°，
∴BM=P′M，∠BMP′=90°，
∵如图2，点P是△ABC外角∠BCN的角平分线上一个动点，点P′是点P关于直线BC的对称点，
∴BP=BP′，∠BCP=∠BPC，
可得AB=BP′=BC=BP=6，
∴BM=sin45°•BP′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=3$\sqrt{2}$；

（3）①当AB=AD时，过点D作DE⊥AB，垂足为E，
此时△ABD的面积为：$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{2}$=9$\sqrt{2}$；
②当AD=BD时，此时BD⊥AC，△ABD的面积为：$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AB×BC=$\frac{1}{4}$×6×6=9；
③当AB=BD时，此时D，C重合，△ABD的面积为：$\frac{1}{2}$AB•BD=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×6×6=18，
综上所述：△ABD的面积为：9$\sqrt{2}$或9或18．

点评 此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的性质和等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．