题目内容

4．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，得到四边形EFGH．
（1）当四边形ABCD为等腰梯形时，请判断四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）若四边形ABCD的面积为6，则四边形EFGH的面积为12．若四边形EFGH的面积为6，则四边形ABCD的面积为3．
（3）请写出四边形EFGH的面积与四边形ABCD的面积之间的关系式为S四边形EFGH=2S四边形ABCD．

分析 （1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后根据等腰梯形的对角线相等，即可证明平行四边形EFGH的邻边相等，即可证得；
（2）根据平行四边形以及三角形的面积公式即可证得；
（3）根据（2）的过程即可求解．

解答 解：（1）四边形EFGH的形状为菱形；
理由是：∵HG∥AC∥EF，EH∥BD∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，四边形AHGC是平行四边形，
∴AC=GH，
同理，EH=BD，
又∵等腰梯形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形；
（2）∵四边形AHGC是平行四边形，
∴S△ACD=$\frac{1}{2}$S平行四边形AHGC，
同理，S△ABC=$\frac{1}{2}$S平行四边形AEFC，
∴S四边形EFGH=2S四边形ABCD=12；
同理，当四边形EFGH的面积为6，则四边形ABCD的面积为3．
故答案是：12，3；
（3）S四边形EFGH=2S四边形ABCD．

点评 本题考查了菱形的判定与等腰梯形的性质，根据平行四边形和三角形的面积公式证明S四边形EFGH=2S四边形ABCD是关键．

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