Question

12．如图，四边形ABCD中，AC=AD，2∠ABD+∠CBD=180°，BC=4，tanACB=$\frac{4}{7}$，△ABD的面积为20，则AD长为$\sqrt{65}$．

Answer 1

分析 如图作AE⊥CB于E，AF⊥BD于F．首先证明△ACE≌△ADF，推出CE=DF，∠ACE=∠ADF，设AE=AF=4x，想办法列出方程即可解决问题．

解答 解：如图作AE⊥CB于E，AF⊥BD于F．

∵2∠ABD+∠CBD=180°，∠CBD+∠ABD+∠ABE=180°，
∴∠ABE=∠ABF，
∴AE=AF，
在Rt△ACE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ADF，
∴CE=DF，∠ACE=∠ADF，设AE=AF=4x，
∵∠tan∠ACE=tan∠ADF=$\frac{4}{7}$，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{4}{7}$，
∴CE=DF=7x，BE=BF=7x-4，
∵S_△ABD=20，
∴$\frac{1}{2}$（7x+7x-4）•4x=20，
∴x=1或-$\frac{5}{7}$（舍弃），
∴AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{65}$，
故答案为$\sqrt{65}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．