Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP、PC，使得△BPC是一个等腰三角形．
（1）用尺规作图画出符合要求的点P．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求出PA的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用等腰三角形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用勾股定理结合等腰三角形的性质分别求出答案．

解答 解：（1）如图所示：P，P₁，P₂即为所求；

（2）当BC=BP₁=6时，∵AB=4，
∴P₁A=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
当CB=CP₂=6时，P₂A=AD-P₂D=6-2$\sqrt{5}$，
当PB=PC时，PA=$\frac{1}{2}$AD=3．
综上，PA的长为2$\sqrt{5}$，6-2$\sqrt{5}$，3．

点评 此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．