Question

2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．若点Q是OC上与O、P不重合的另一点，则以下结论中，一定成立的是①②③（填序号）
①PD=PE；②OC垂直平分DE；③QO平分∠DQE；④△DEQ是等边三角形．

Answer 1

分析 ①正确．由△OPD≌△OPE即可解决问题．
②正确．由OD=OE，PD=PE即可证明．
③正确．由△OQD≌△OQE即可证明．
④错误．△DQE是等腰三角形．

解答 解：如图，

∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
在△OPD和△OPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POD=∠POE}\\{∠PDO=∠PEO}\\{PO=PO}\end{array}\right.$，
∴△POD≌△POE，
∴OD=OE，DP=PE，故①正确，
∵PD=PE，OD=OE，
∴OC垂直平分DE，故②正确，
在△OQD和△OQE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OQ=OQ}\\{∠QOD=∠QOE}\\{OD=OE}\end{array}\right.$，
∴△OQD≌△OQE，
∴∠OQE=∠OQD，DQ=QE，
∴OQ平分∠DQE，△DQE是等腰三角形，故③正确，④错误，
故答案为①②③

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．