Question

4．如图，在平面直角坐标系中，点D为x轴上的一点，且点D坐标为（4，0），过点D的直线
l⊥x轴，点A为直线l上的一动点，连结OA，OB⊥OA交直线l于点B，则$\frac{1}{{O{A^2}}}+\frac{1}{{O{B^2}}}$的值为$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 先根据勾股定理得出OA²+OB²=AB²，再用得出OD×AB=OA×OB，最后通分所求式子再代换即可得出结论．

解答 解：∵OB⊥OA，
∴∠AOB=90°，
∴OA²+OB²=AB²，
∵OD⊥AB，
∴OD×AB=OA×OB，
∵点D坐标为（4，0），
∴OD=4，
∴$\frac{1}{{O{A^2}}}+\frac{1}{{O{B^2}}}$=$\frac{O{A}^{2}+O{B}^{2}}{（OA×OB）^{2}}$=$\frac{A{B}^{2}}{（OD×AB）^{2}}$=$\frac{1}{O{D}^{2}}$=$\frac{1}{16}$．
故答案为：$\frac{1}{16}$．

点评 此题是直角三角形的性质，主要考查了勾股定理，直角三角形的面积公式，分式的计算，利用面积和勾股定理得出OD×AB=OA×OB和OA²+OB²=AB²，是解本题的关键．