Question

4．如图①，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=2$\sqrt{5}$，E、F、G、H分别为菱形的四边中点，顺次连接E、F、G、H四点得矩形EFGH．
（1）求矩形EFGH的边EF、EH的长；
（2）如图②，固定菱形ABCD，将矩形EFGH沿OD方向向右平移，直至点D落在EF上时停止运动．设平移距离为x，记矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）如图③，固定菱形ABCD，将矩形EFGH绕点O旋转，使边EH的中垂线OM交线段AD于点M，射线OH交线段CD于点N，连接MN．当△MDN为直角三角形时，请直接写出AM的长．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得到得到直角三角形，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
（2）由菱形的性质和矩形的性质，分段表示出线段，求出三角形的面积；
（3）根据△AOM∽△CON得到AM与CN的关系，再分∠MND和∠NMD为直角计算即可．

解答 解：（1）∵EF是△ABC的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{5}$，
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，AO=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{5}$，
∴在Rt△ABO中，BO=$\sqrt{{5}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BD=4$\sqrt{5}$，
∵EH是△ABD的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{5}$，
（2）如图1，

设EF，HG分别交BD于点K，S，
∴BK=KO=OS=SD=$\sqrt{5}$，
∴当点D在HG上时，x=$\sqrt{5}$，
当点E在AD上时，x=2$\sqrt{5}$，
当点D在EF上时，x=3$\sqrt{5}$，
Ⅰ、当0≤x≤$\sqrt{5}$时，如图2，

设EH，HG分别交AD，于P．Q两点，
∴PH=x，HQ=$\frac{1}{2}$x，
∴S_△PHG=$\frac{1}{4}$x²，
由对称性知，S=S_矩形EFGH-2S_△PHG=$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$-2×$\frac{1}{2}$x²=-$\frac{1}{2}$x²+10；
Ⅱ、当$\sqrt{5}$≤x≤2$\sqrt{5}$，如图5，

设FG交AD于P，
∴EP=2$\sqrt{5}$-x，
∴S_矩形EFRP=（2$\sqrt{5}$-x）×$\sqrt{5}$=10-$\sqrt{5}$x，
∵△PRD与图1中的△DHG的面积相等，
∴S_△PRD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$，
∴S=S_矩形EFRP+S_△PRD=10-$\sqrt{5}$x+$\frac{5}{2}$=-$\sqrt{5}$x+$\frac{25}{2}$，
Ⅲ、当2$\sqrt{5}$≤x≤3$\sqrt{5}$时，如图6，

设EF交OD于K，
∴DK=3$\sqrt{5}$-x，
∴S=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{5}$-x）（3$\sqrt{5}$-x）=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{5}$-x）²；
（3）如图7，

由题知，∠MON=∠OAD，
∵∠MON+∠CON=∠OAD+∠AMO，
∴∠CON=∠AMO，
∵∠OAD=∠ACD，
∴△AOM∽△CON，
设AM=a，CN=b，
∴$\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{b}$，
∴b=$\frac{5}{a}$，
∴DM=5-a，DN=5-$\frac{5}{a}$，
过A点作AT⊥CD，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$×5×AT=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$，
∴AT=4，
∵DT=3，
∴cos∠ADC=$\frac{3}{5}$，
Ⅰ、若∠MNO=90°，
∴cos∠ADC=$\frac{DN}{DM}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{5-\frac{5}{a}}{5-a}=\frac{3}{5}$，
∴a₁=$\frac{5}{3}$，a₂=-5（舍），
Ⅱ、若∠NMO=90°，
∴cos∠ADC=$\frac{DM}{DN}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{5-a}{5-\frac{5}{a}}=\frac{3}{5}$，
∴a₁=3，a₂=-1（舍），

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了菱形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解本题的关键是运动过程中，分段用运动时间表示线段，也是解本题的难点．