Question

2．如图，点B（3，3）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，点D在双曲线y=$\frac{4}{x}$（x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，DM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，且点A、B、C、D构成的四边形为正方形．
（1）k的值为9；
（2）求证：△ADM≌△BAN；
（3）求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点B（3，3）代入双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0），求出k的值即可；
（2）由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到AD=AB，且∠DAB为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS即可得证；
（3）由△ADM≌△BAN得到DM=AN，AM=BN，根据B的坐标得到ON=BN=3，设A（a，0），即OA=a，由ON-OA表示出AN，即为DM，为D的纵坐标，代入反比例解析式表示出横坐标，确定出OM，由OM+OA表示出AM，根据AM=BN=3求出a的值，即可确定出A坐标．

解答 （1）解：∵点B（3，3）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=3×3=9．
故答案为：9；

（2）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠DAM+∠BAN=90°，
∵∠MDA+∠DAM=90°，
∴∠MDA=∠BAN，
在△ADM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AMD=∠BNA=90°\\∠MAD=∠BAN\\ AD=BA\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BAN（AAS）；

（3）解：∵△ADM≌△BAN，
∴AN=DM，BN=AM，
设A（a，0），即OA=a，
∵B（3，3），
∴BN=ON=3，
∴DM=AN=ON-OA=3-a，
把y=3-a代入y=-$\frac{4}{x}$得：x=-$\frac{4}{3-a}$，即OM=$\frac{4}{3-a}$，
∴BN=AM=OM+OA=$\frac{4}{3-a}$+a=3，
解得：a=1或a=5（不合题意，舍去），
∴A（1，0）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．