Question

5．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E点，若$\frac{OA}{CE}=\sqrt{5}$，则$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 设CE=m，则$OA=\sqrt{5}m$，$AB=2\sqrt{5}m$，证明△ACE∽△BAE，得到$\frac{CE}{AE}=\frac{AE}{BE}$，即AE²=mEB．再根据勾股定理AB²=AE²+EB²，求出EB，即可解答．

解答 解：∵AB为⊙O的直径，
∴AE⊥BC，
设CE=m，则$OA=\sqrt{5}m$，$AB=2\sqrt{5}m$．
∵AC是⊙O的切线，
∴AC⊥AB，
∴∠CAE+∠BAE=90°，
∵∠CAE+∠C=90°
∴∠C=∠BAE，
∵∠CAB=∠AEB=90°，
∴△ACE∽△BAE，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{AE}{BE}$，
∴AE²=CE•EB，即AE²=mEB．
∵AB²=AE²+EB²，
∴${（2\sqrt{5}m）^2}=mEB+E{B^2}$．
∴EB²+mEB-20m²=0，
解得：EB=4m或EB=-5m（舍去）．
∴AE=2m，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{2m}{{2\sqrt{5}m}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质、相似三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△ACE∽△BAE．