Question

4．已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4$\sqrt{2}$）．点C的坐标为（-1，0），若P为线段OA上一动点．则CP+$\frac{1}{3}$AP最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图取一点K（2，0），连接AK，作CN⊥AK于N，PM⊥AK于M．由△APM∽△AKO，可得$\frac{PM}{PA}$=$\frac{OK}{AP}$=$\frac{1}{3}$，推出PM=$\frac{1}{3}$PA，推出PC+$\frac{1}{3}$PA=PC+PM，推出当CP⊥AK时，PC+$\frac{1}{3}$PA=PC+PM的值最小，最小值为CN的长．

解答 解：如图取一点K（2，0），连接AK，作CN⊥AK于N，PM⊥AK于M．

在Rt△AOK中，∵OA=4$\sqrt{2}$，OK=2，
∴AK=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=6，
∵∠PAM=∠OAK，∠AMP=∠AOK，
∴△APM∽△AKO，
∴$\frac{PM}{PA}$=$\frac{OK}{AP}$=$\frac{1}{3}$，
∴PM=$\frac{1}{3}$PA，
∴PC+$\frac{1}{3}$PA=PC+PM，
∴当CP⊥AK时，PC+$\frac{1}{3}$PA=PC+PM的值最小，最小值为CN的长，
由△CNK∽△AOK，
∴$\frac{CN}{OA}$=$\frac{CK}{AK}$，
∴$\frac{CN}{4\sqrt{2}}$=$\frac{3}{6}$，
∴CN=2$\sqrt{2}$，
故答案为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．