题目内容
16．已知四边形ABCD的面积为1，O为四边形ABCD内的一点．（1）如图1，分别作O点关于点A、B、C、D的对称点，对应点为A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′的面积为4；
（2）如图2，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，分别作O点关于点E、F、G、H的对称点，对应点为E′、F′、G′、H′，则四边形EFGH的面积为$\frac{1}{2}$；四边形E′F′G′H′的面积为2．
（3）如图3，若E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且$\frac{AE}{AB}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{DH}{DA}$=$\frac{1}{x}$．请在图3中分别作O点关于点E、F、G、H的对称点（保留画图痕迹），对应点E′F′G′H′，则用含x的代数式表示四边形E′F′G′H′的面积为$\frac{4{x}^{2}-8x+8}{{x}^{2}}$．
分析 （1）根据三角形中位线定理，可得$\frac{AB}{A'B'}$=$\frac{1}{2}$，再根据四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，且位似比为$\frac{1}{2}$，即可得到S四边形A′B′C′D′=1×4=4；
（2）连接BD，BH，根据E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，可得S△AEH=$\frac{1}{2}$S△ABH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$S△ABD=$\frac{1}{4}$S△ABD ，S△CFG=$\frac{1}{4}$S△CBD ，S△DHG+S△BEF=$\frac{1}{4}$S四边形ABCD ，进而得到S四边形EFGH=（1-$\frac{1}{4}$×2）S四边形ABCD=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，再根据（1）中结论可知，S四边形E′F′G′H′=4S四边形EFGH=4×$\frac{1}{2}$=2；
（3）运用（2）中的方法，先求得S四边形EFGH=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}}$，再根据S四边形E′F′G′H′=4S四边形EFGH进行计算即可．
解答 
解：（1）根据对称性可得，点A是OA'的中点，点B时OB'的中点，
∴AB是△A'B'O的中位线，
∴$\frac{AB}{A'B'}$=$\frac{1}{2}$，
由题可得，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，且位似比为$\frac{1}{2}$，
∴四边形A′B′C′D′的面积等于四边形ABCD的面积的4倍，
∴S四边形A′B′C′D′=1×4=4，
故答案为：4；
（2）如图2，连接BD，BH，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，
∴S△AEH=$\frac{1}{2}$S△ABH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$S△ABD=$\frac{1}{4}$S△ABD ，
同理，S△CFG=$\frac{1}{4}$S△CBD ，
∴S△AEH+S△CFG=$\frac{1}{4}$（S△ABD+S△CBD）=$\frac{1}{4}$S四边形ABCD ，
同理可得，S△DHG+S△BEF=$\frac{1}{4}$S四边形ABCD ，
∴S四边形EFGH=（1-$\frac{1}{4}$×2）S四边形ABCD=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
由（1）可知，S四边形E′F′G′H′=4S四边形EFGH=4×$\frac{1}{2}$=2，
故答案为：$\frac{1}{2}$，2；
（3）如图3，点E′，F′，G′，H′即为所求，
如图4，连接EF，FG，GH，HE，连接BD，BH，
∵$\frac{AE}{AB}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{DH}{DA}$=$\frac{1}{x}$，
∴S△AEH=$\frac{1}{x}$S△ABH=$\frac{1}{x}$×$\frac{x-1}{x}$S△ABD=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$S△ABD ，
同理，S△CFG=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$S△CBD ，
∴S△AEH+S△CFG=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$（S△ABD+S△CBD）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$S四边形ABCD ，
同理可得，S△DHG+S△BEF=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$S四边形ABCD ，
∴S四边形EFGH=（1-$\frac{x-1}{{x}^{2}}$×2）S四边形ABCD=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}}$×1=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}}$，
由（1）可知，S四边形E′F′G′H′=4S四边形EFGH=4×$\frac{{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}}$=$\frac{4{x}^{2}-8x+8}{{x}^{2}}$，
故答案为：$\frac{4{x}^{2}-8x+8}{{x}^{2}}$．
点评 本题主要考查了中点四边形以及位似图形的性质的运用，解决问题的关键是将图形进行分割，利用等底等高的三角形的面积比就等于对应底的比进行计算．解题时注意：相似多边形的面积之比等于相似比的平方．
| A． | 2：3 | B． | 8：5 | C． | 10：1 | D． | 5：8 |
如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C顺时针旋转后得到△A'B'C，设∠A'CB=a，点B'在AB上，则∠ADA'=4α-360°（用含a的式子表示）
如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=2x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）相交于A、B两点，已知点A的坐标是（1，a），另有一次函数y=mx+n（m≠0）的图象经过点A，交x轴于点C，交y轴于点D，OC=$\sqrt{5}$OA．| A． | $\sqrt{-x-2}$ | B． | $\sqrt{x}$ | C． | $\sqrt{{x}^{2}+2}$ | D． | $\sqrt{-5}$ |
| A． | 2x+1=0 | B． | y2+x=0 | C． | x2-x=0 | D． | $\frac{1}{x}$+x2=0 |