Question

19．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，若$\frac{BD}{CD}$=$\frac{8}{5}$，则$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{39}}{6}$．

Answer 1

分析 先过D作DE⊥BC，交BC的延长线于E，构造矩形ACED，再根据勾股定理得到方程（8a）²-（2x）²=（5a）²-（x）²，求得BC=CE=$\sqrt{13}$a，再根据AC=DE=2$\sqrt{3}$a，即可得出$\frac{BC}{AC}$的值．

解答 解：如图，过D作DE⊥BC，交BC的延长线于E，
∵AC⊥BC，AD∥CE，
∴∠DAC=∠ACE=∠E=90°，
∴四边形ACED时矩形，
∴AD=CE=BC，
设CE=BC=x，BD=8a，CD=5a，
∵Rt△BDE中，DE²=BD²-BE²=（8a）²-（2x）²，
Rt△DCE中，DE²=CD²-CE²=（5a）²-（x）²，
∴（8a）²-（2x）²=（5a）²-（x）²，
解得x=$\sqrt{13}$a，
∴BC=CE=$\sqrt{13}$a，
∴AC=DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$a，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{13}a}{2\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{39}}{6}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{39}}{6}$．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造矩形和直角三角形，依据勾股定理列方程计算．