Question

11．如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°．

（1）求∠AOC的度数；
（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；
（3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按A照逆时针的方向运动一周，当S_△MAO=S_△CAO时，则半径OM旋转的角度为60°或120°或240°或300°．

Answer 1

分析 （1）首先证明△AOC为等边三角形，从而得到∠AOC的度数；
（2）由切线的性质可知OC⊥PC，然后依据特殊锐角三教函数值可求得OP的度数；
（3）作点C关于AB的对称点C′，然后分别过点C和点C′作平行与AB的直线交⊙O与点D，E，分别求得点M旋转到点C′、E、D、C时，的旋转角即可．

解答 解：（1）∵OC=OA，∠OAC=60°，
∴△AOC为等边三角形．
∴∠AOC=60°．
（2）∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥OP．
∵$\frac{OC}{OP}$=sin60°，
∴$\frac{4}{OP}=\frac{1}{2}$，解得OP=8cm．
（3）如图所示：作点C关于AB的对称点C′，过点C和点C′作平行与AB的直线交⊙O与点D，E．

∵圆是轴对称图形，
∴点C′在⊙O上．
∵点C与点C′关于AB对称，
∴S_△C′AO=S_△CAO，∠AOC′=∠AOC=60°．
∴当点M位于点C′处时，点M旋转的角度为60°．
∵CD∥AB，C′E∥AB，
∴S_△DAO=S_△EAO=S_△CAO．
∵CD∥AB，C′E∥AB，
∴$\widehat{BD}=\widehat{AC}$，$\widehat{BE}=\widehat{AC′}$．
∴∠EOB=60°，∠DOB=60°．
∴当点M位于点E处时，点M旋转的角度为120°，当点M位于点D处时，点M旋转的角度为240°．
当点M与点C重合时，点M旋转的角度为300°．
综上所述，点M旋转的角度为60°或120°或240°或300°．
故答案为：60°或120°或240°或300°．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了等边三角形的性质和判定、切线的性质、特殊锐角三角函数值、圆的性质、平行线的性质，利用平行线的性质，确定出当S_△MAO=S_△CAO时，点M运动的位置是解题的关键．