Question

19．观察下列图形：

（1）它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形共有19颗星．
（2）按照这样的规律，第n个图形有3n+1颗星．
（3）这些图形中是否存在其中一个图形有2012颗星？如果存在，应是第几个图形？如果不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据图中所给的黑色星星的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；
（2）根据（1）所找出的规律，用含n的代数式表示即可求出答案．
（3）令（2）题得到的代数式等于2012后求得n为正整数就可以，否则不可以．

解答 解：第一个图有4=3×1+1颗星，
第二个图有7=3×2+1颗星，
第三个图有10=3×3+1颗星，
第四个图有13=3×4+1颗星，
第五个图16=3×5+1颗星，
…
第n个图有3n+1颗星．
（1）当n=6时，3×6+1=19；

（2）第n个图有3n+1颗星．

（3）设第n个图形有2012颗星，
根据（1）得3n+1=2012
解得n=$\frac{2011}{3}$，
所以不存在某个图形有2012颗星．

点评 此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．