Question

6．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（$\frac{a+b}{k}$，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．
（1）①点P（-2，1）的“2属派生点”P′的坐标为（-$\frac{1}{2}$，-3）；
②若点P的“k属派生点”P′的坐标为（4，2），请写出一个符合条件的点P的坐标（-6，14）；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′，且△OPP′为等腰直角三角形，则k的值为±1．

Answer 1

分析 （1）①只需把a=-2，b=1，k=2代入（$\frac{a+b}{k}$，ka+b）即可求出P′的坐标．
②由P′（3，3）可求出k=1，从而有a+b=3．任取一个a就可求出对应的b，从而得到符合条件的点P的一个坐标．
（2）设点P坐标为（a，0），从而有P′（a，ka），显然PP′⊥OP，由条件可得OP=PP′，从而求出k．

解答 解：（1）①当a=-2，b=1，k=2时，
∴$\frac{a+b}{k}$=$\frac{-1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，ka+b=2×（-2）+1=-3．
∴点P（-2，1）的“2属派生点”P′的坐标为（-$\frac{1}{2}$，-3）．
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，-3）．
②由题可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+b}{k}=4}\\{ka+b=2}\end{array}\right.$，
当k=2，则$\left\{\begin{array}{l}{a+b=8}\\{2a+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=14}\end{array}\right.$．
此时点P的坐标为（-6，14），
故答案为：（-6，14）．
（2）∵点P在x轴的正半轴上，
∴b=0，a＞0．
∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（$\frac{a}{k}$，ka）．
∴PP′⊥OP．
∵△OPP′为等腰直角三角形，
∴OP=PP′．
∴a=±ka．
∵a＞0，
∴k=±1．
故答案为：±1．

点评 本题考查了反比例图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，此题属于新定义下的阅读理解题，有一定的综合性．第（2）题中由OP=PP′得到a与ka之间的关系是本题的易错点，需要注意．