Question

20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，连接AD，BD，∠ABC=22.5°+$\frac{1}{2}$∠ABD；tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，AB=$\sqrt{2}$DB，AC=3，则BD=$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 延长AC至点E，使AC=CE，连接BE、CD、DE，过点D作DF⊥AE于点F，设BD=x，得AB=BE=$\sqrt{2}$x、∠ABC=∠EBC，由2∠ABC=45°+∠ABD及2∠ABC-∠ABD=∠DBE可得∠DBE=45°，再根据余弦定理可得DE=BE=x、∠DBE=∠DEB=45°、∠BDE=90°，由C、D、B、E四点共圆可得∠FCD=∠DCB=45°、CF=DF，最后根据tan∠DAC=$\frac{1}{2}$可求得DF=CF=1，从而得DE=DB=$\sqrt{17}$．

解答 解：如图，延长AC至点E，使AC=CE，连接BE、CD、DE，
过点D作DF⊥AE于点F，设BD=x，

则AB=$\sqrt{2}$x，∵BC⊥AE，AC=CE，
∴AB=BE=$\sqrt{2}$x，∠ABC=∠EBC，
又∵∠ABC=22.5°+$\frac{1}{2}$∠ABD，
∴2∠ABC=45°+∠ABD，
∵2∠ABC-∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=45°，
在△BDE中，由余弦定理知DE²=x²+（$\sqrt{2}$x）²-2x•$\sqrt{2}$xcos45°=x²，
∴DE=x，
∴△BDE是等腰直角三角形，BD=DE=x，
∴∠DBE=∠DEB=45°，∠BDE=90°，
∵∠ECB=90°，
∴C、D、B、E四点共圆，
∴∠DCB=∠DEB=45°，
∴∠FCD=∠DCB=45°，△CDF是等腰直角三角形，
∴CF=FD，
又AF=3-FC=3-FD，tan∠DAC=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{FD}{3+FD}$=$\frac{1}{2}$，
解得：FD=1，
∴EF=4，
在RT△DEF中，DE=$\sqrt{17}$，
∴BD=$\sqrt{17}$，
故答案为：$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了中垂线性质、勾股定理、余弦定理、圆周角定理及三角函数的应用，通过添加辅助线将待求线段的长转化为其他线段的长，并且将已知条件联系到一起是关键．