Question

12．方程（x³-3x²+4x-3）（x³+2x²-x-1）+5x²-5x+1=0的全部相异实根为（　　）

• A． 1，-1
• B． 1，-1，-2
• C． 1，-1，-2，2
• D． 以上均不对

Answer 1

分析 假设（x³-3x²+4x-3）（x³+2x²-x-1）=（A-B）（A+B），然后分别求出A与B的表达式，进而将原方程化为关于A、B的方程．

解答 解：设（x³-3x²+4x-3）（x³+2x²-x-1）=（A-B）（A+B），
∴$\left\{\begin{array}{l}{A+B={x}^{3}-3{x}^{2}+4x-3}\\{A-B={x}^{3}+2{x}^{2}-x-1}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{A={x}^{3}-\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{3x}{2}-1}\\{B=-\frac{5{x}^{2}}{2}+\frac{5x}{2}-1}\end{array}\right.$
∴原方程化为：（A+B）（A-B）-2B+1=0，
∴A²-（B-1）²=0
∴（A+B-1）（A-B+1）=0，
∴x³-3x²+4x-4=0或x³+2x²-x-1+1=0，
当x³-3x²+4x-4=0时，
∴（x-2）（x²-x+2）=0，
∴x=2或x²-x+2=0（无解），
当x³+2x²-x-1+1=0时，
∴x（x²+2x-1）=0，
∴x=0或x²+2x-1=0，
∴x=0或x=-1±$\sqrt{2}$
故x=0或x=2或x=-1±$\sqrt{2}$
故选（D）

点评 本题考查高次方程的解法，解题的关键是设（x³-3x²+4x-3）（x³+2x²-x-1）=（A-B）（A+B）进而求出A与B的表示，最后将其转为一元二次方程来进行解答．