Question

7．化简：
①${（{\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{5}c}）^2}-{（{\frac{2}{3}a-\frac{1}{4}b-\frac{1}{5}c}）^2}$；
②[（x-2y）²+（x-2y）（2y-x）-2x（2x-y）]÷2x
③$1-\frac{8}{{{a^2}-4}}[{（{1-\frac{{{a^2}+4}}{4a}}）÷（{\frac{1}{a}-\frac{1}{2}}）}]$；
④（a^-2-b^-2）÷（a^-1+b^-1）+（a^-2-b^-2）÷（a^-1-b^-1）．

Answer 1

分析 ①根据平方差公式进行计算化简即可；
②先对括号内的式子进行化简，再将除法转化为乘法即可解答本题；
③先对括号内的式子进行化简，然后再根据整式的减法法则进行计算即可；
④先将除法转化为乘法再进行计算化简即可．

解答 解：①${（{\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{5}c}）^2}-{（{\frac{2}{3}a-\frac{1}{4}b-\frac{1}{5}c}）^2}$
=$[（\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{5}c）-（\frac{2}{3}a-\frac{1}{4}b-\frac{1}{5}c）][（\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{5}c）+（\frac{2}{3}a-\frac{1}{4}b-\frac{1}{5}c）]$
=$（\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{5}c-\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{5}c）（\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}b+\frac{1}{5}c+\frac{2}{3}a-\frac{1}{4}b-\frac{1}{5}c）$
=$（-\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b+\frac{2}{5}c）×a$
=$-\frac{1}{3}{a}^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{2}{5}ac$；
②[（x-2y）²+（x-2y）（2y-x）-2x（2x-y）]÷2x
=[（x-2y）²-（x-2y）²-2x（2x-y）]÷2x
=-2x（2x-y）÷2x
=-（2x-y）
=-2x+y；
③$1-\frac{8}{{{a^2}-4}}[{（{1-\frac{{{a^2}+4}}{4a}}）÷（{\frac{1}{a}-\frac{1}{2}}）}]$
=$1-\frac{8}{{a}^{2}-4}[\frac{4a-{a}^{2}-4}{4a}÷\frac{2-a}{2a}]$
=$1-\frac{8}{（a+2）（a-2）}×\frac{-（a-2）^{2}}{4a}$×$\frac{2a}{2-a}$
=1-$\frac{4}{a+2}$
=$\frac{a+2-4}{a+2}$
=$\frac{a-2}{a+2}$；
④（a^-2-b^-2）÷（a^-1+b^-1）+（a^-2-b^-2）÷（a^-1-b^-1）
=$（{a}^{-2}-{b}^{-2}）×\frac{1}{{a}^{-1}+{b}^{-1}}+（{a}^{-2}-{b}^{-2}）×\frac{1}{{a}^{-1}-{b}^{-1}}$
=$（{a}^{-2}-{b}^{-2}）（\frac{1}{{a}^{-1}+{b}^{-1}}+\frac{1}{{a}^{-1}-{b}^{-1}}）$
=$（\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{1}{{b}^{2}}）（\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}）$
=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}×（\frac{ab}{b+a}+\frac{ab}{b-a}）$
=$\frac{（b+a）（b-a）}{{a}^{2}{b}^{2}}×\frac{ab（b-a+b+a）}{（b+a）（b-a）}$
=$\frac{2b}{ab}$
=$\frac{2}{a}$．

点评 本题考查整式的混合运算、因式分解、平方差公式、分式的混合运算、负整数指数幂，解题的关键是明确它们各自的计算方法，利用数学中转化的数学思想，对问题进行解答，注意在解题中一定要仔细认真，还要注意检查．