Question

5．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点．交y轴与C点，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到B，C两点的距离之差最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将B、C点的坐标代入抛物线解析式，联立对称轴-$\frac{b}{2a}$=1成方程组，解方程组即可得出结论；
（2）假设存在，连接AC，延长AC交抛物线的对称轴于点P．由三角形内两边之差小于第三边得出当A、C、P三点共线时，点P到B，C两点的距离之差最大，由A、C点坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，令x=1，求出y值即可得出P点的坐标．

解答 解：（1）由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=1}\\{0=9a+3b+c}\\{-3=c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴这条抛物线所对应的函数关系式为y=x²-2x-3．
（2）假设存在，连接AC，延长AC交抛物线的对称轴于点P，如图所示．

令y=0，则有x²-2x-3=0，
解得：x=-1，或x=3．
即点A的坐标为（-1，0）．
在对称轴x=1上任取一定不同于点P的点P′．
由抛物线的对称性可知：P′B=P′A，PB=PA，
P′B-P′C=P′A-P′C＜AC=PA-PC=PB-PC，
∴当A、C、P三点共线时，点P到B，C两点的距离之差最大．
设直线AC的解析式为y=kx-3，
∵点A（-1，0）在直线AC上，
∴有-k-3=0，解得：k=-3，
即直线AC的解析式为y=-3x-3．
令x=1，则y=-3×1-3=-6，
点P的坐标为（1，-6）．
故在抛物线的对称轴上存在一点P，使点P到B，C两点的距离之差最大，点P的坐标为（1，-6）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点以及三角形三边关系，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）找出P点的位置．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由三角形三边关系“三角形内两边之差小于第三边”判断P点的位置是关键．