Question

如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm．
（1）风车在转动过程中，点A到桌面的最远距离为

 

cm，最近距离为

 

cm．
（2）风车在转动过程中，当∠AOE=45°时，求点A到桌面的距离（结果保留根号）．
（3）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长（结果保留π）．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）点A到最上面时到桌面的距离最远，在最下面时，距离桌面最近；
（2）作A₁F⊥MN于点F，A₁G⊥OE于点G，在Rt△A₁OG中，利用三角函数可求得OG，从而得出点A到桌面的距离A₁F；
（3）作A₂H⊥MN于H，则A₂H=20．作A₂D⊥OE于点D，则DE=A₂H．在Rt△A₂OD中，由特殊角的三角函数得∠A₂OD=60°，由圆的轴对称性可知，∠A₃OA₂=2∠A₂OD=120°．从而得出点A所经过的路径长．

解答：解：（1）点A到最上面时到桌面的距离最远，此时最远距离=OE+OA=35cm，
点A到最下面时到桌面的距离最近，此时最近距离=OE-OA=15cm，

（2）如图1，点A运动到点A₁的位置时∠AOE=45°，
作A₁F⊥MN于点F，A₁G⊥OE于点G，
∴A₁F=GE，
在Rt△A₁OG中，
∵∠A₁OG=45°，OA₁=10，
∴OG=OA₁•cos45°=10×

2

2

=5

2

，
∵OE=25，
∴GE=OE-OG=25-5

2

，
∴A₁F=GE=25-5

2

，
∴点A到桌面的距离是（25-5

2

）厘米．

（3）如图2，点A在旋转过程中运动到点A₂、A₃的位置时，点A到桌面的距离等于20厘米．
作A₂H⊥MN于H，则A₂H=20，
作A₂D⊥OE于点D，
∴DE=A₂H，
∵OE=25，
∴OD=OE-DE=25-20=5．
在Rt△A₂OD中，
∵OA₂=10，
∴cos∠A₂OD=

OD

OA2

=

5

10

=

1

2

．
∴∠A₂OD=60°，
由圆的轴对称性可知，∠A₃OA₂=2∠A₂OD=120°，
∴点A所经过的路径长为

120π×10

180

=

20π

3

．

点评：本题考查了圆的综合，解答本题的关键是作出辅助线，涉及了解直角三角形、锐角三角函数的定义，解答本题的关键是数形结合思想的运用，有一定难度．