Question

如图，已知E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AE：EF：FC=1：2：1，试求∠ACB的度数．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用矩形的性质得出对应角以及对应线段，再利用全等三角形的判定方法求出即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质得出BE=

3

x，进而利用锐角三角函数关系得出即可．

解答：（1）证明：∵E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，∠BAE=∠DCF，AB=DC，
在△ABE和△CDF中，

∠BEA=∠DFC ∠BAE=∠DCF AB=DC

，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；

（2）解：∵∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠BAE=∠CBE，
又∵∠AEB=∠BEC，
∴△ABE∽△BCE，
∴

AE

BE

=

BE

EC

，
∵AE：EF：FC=1：2：1，
∴设AE=x，EF=2x，FC=x，
∴

x

BE

=

BE

3x

，
∴BE=

3

x，
∴tan∠ECB=

BE

EC

=

3 x

3x

=

3

3

，
∴∠ECB=30°即∠ACB的度数为30°．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，表示出BE的长是解题关键．