Question

18．已知两个正数x，y满足x+y=7，则$\sqrt{{x}^{2}+4}+\sqrt{{y}^{2}+9}$的最小值为$\sqrt{74}$．此时x的值为$\frac{14}{5}$．（提示：若借助网格或坐标系，就可以从数形结合的角度来看$\sqrt{{x}^{2}+4}$，例如可以把$\sqrt{{3}^{2}+4}$看做边长为3和4的直角三角形的斜边）

Answer 1

分析 先作图构建两个直角三角形：△ACP和△BDP，并作点C关于AB的对称点C′，根据两点之间，线段最短可知$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$的最小值就是线段C′D的长，并根据平行相似求出x的值．

解答 解：：如图所示：AB=7，过A、B两点分别作AB的垂线AC和BD，且AC=2，BD=3．作点C关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于P，连接CP，CP=C′P．

设AP=x，BP=y，则y=7-x，
由勾股定理得：CP=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，PD=$\sqrt{{y}^{2}+9}$，
则此时DC′=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$的值最小，
∴C′D=C′P+DP=CP+DP=$\sqrt{{7}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{74}$．
∵AC′⊥AB，BD⊥AB，
∴AC′∥BD，
∴△APC′∽△BPD，
∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AC′}{BD′}$，
∴$\frac{x}{7-x}$=$\frac{2}{3}$，
∴x=$\frac{14}{5}$，
故答案为：$\sqrt{74}$；$\frac{14}{5}$．

点评 本题是轴对称的最短路径问题，具体作法是：作某一点的对称点，与另一点相连，所构成的线段长就是最短距离，通常利用勾股定理即可求出．