Question

9．如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为$\widehat{BC}$上一动点（不与C，B重合），则2PD+PB的最小值为（　　）

• A． 4+2$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{7}$
• C． 10
• D． 4$\sqrt{3}$+4

Answer 1

分析 如图，作∥∠PAP′=120°，则AP′=2AB=8，连接PP′，BP′，则∠1=∠2，推出△APD∽△ABP′，得到BP′=2PD，于是得到2PD+PB=BP′+PB≥PP′，根据勾股定理得到PP′=$\sqrt{（2+8）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{7}$，求得2PD+PB≥4$\sqrt{7}$，于是得到结论．

解答 如图，作∥∠PAP′=120°，
则AP′=2AB=8，连接PP′，BP′，
则∠1=∠2，
∵$\frac{AP′}{AB}$=$\frac{AP}{AD}$=2，
∴△APD∽△ABP′，
∴BP′=2PD，
∴2PD+PB=BP′+PB≥PP′，
∴PP′=$\sqrt{（2+8）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{7}$，∴2PD+PB≥4$\sqrt{7}$，
∴2PD+PB的最小值为4$\sqrt{7}$，
故选B．

点评 本题考查了轴对称-最短距离问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．