Question

7．如图，在平面内直角坐标系中，直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A₁，A₂，A₃，…在x轴上，点B₁、B₂、B₃，…在直线l上．若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均为等边三角形，则OA_n的长是（　　）

• A． 2ⁿ$\sqrt{3}$
• B． （2ⁿ+1）$\sqrt{3}$
• C． （2^n-1-1）$\sqrt{3}$
• D． （2ⁿ-1）$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据一次函数图象上点的坐标可得出点A的坐标，由一次函数的解析式可得出∠BOA=30°，结合等边三角形的性质即可得出∠AB₁O=∠AB₂A₁=∠AB₃A₂=…=30°，进而即可得出OA₁、OA₂、OA₃、OA₄的长度，再根据边的变化找出变化规律“OA_n=（2ⁿ-1）OA=（2ⁿ-1）$\sqrt{3}$”，此题得解．

解答 解：∵直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1交x轴于点A，交y轴于点B，
∴∠BOA=30°，点A（-$\sqrt{3}$，0）．
∵△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…均为等边三角形，
∴∠AB₁O=∠AB₂A₁=∠AB₃A₂=…=30°，
∴OA₁=OA，OA₂=OA₁+AA₁=3OA，OA₃=OA₂+AA₂=7OA，OA₄=OA₃+AA₃=15OA，…，
∴OA_n=（2ⁿ-1）OA=（2ⁿ-1）$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及规律型中数的变化类，根据边的变化找出变化规律“OA_n=（2ⁿ-1）OA=（2ⁿ-1）$\sqrt{3}$”是解题的关键．