Question

3．如图，在△ABC中，BC=12cm，高AD=8cm，内接矩形PNMQ中，MN：PN=1：2，求内接矩形的周长和面积．

Answer 1

分析 根据矩形的性质以及相似三角形的判定与性质得出PQ：AD=BP：AB，PN：BC=AP：AB，BC=12cm，高AD=8cm，据此可得出PQ，PN的值，故可得出矩形PQMN的周长和面积．

解答 解：∵四边形PNMQ是矩形，
∴∠PQM=90°，PN∥BC，
∵∠ADC=90°，
∴PQ∥AD，
∴△BPQ∽△BAD，
∴PQ：AD=BP：AB，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴PN：BC=AP：AB，
∴$\frac{PQ}{AD}$+$\frac{PN}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$+$\frac{AP}{AB}$=1，
又∵PN=2MN=2PQ，BC=12cm，AD=8cm，
∴$\frac{PQ}{8}$+$\frac{2PQ}{12}$=1，
∴PQ=$\frac{24}{7}$，
则PN=$\frac{48}{7}$，
∴矩形PQMN的周长=2（$\frac{24}{7}$+$\frac{48}{7}$）=$\frac{144}{7}$cm，
矩形PQMN的面积=$\frac{24}{7}$×$\frac{48}{7}$=$\frac{1152}{49}$cm²．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，求出矩形的长、宽是解题的关键．