Question

13．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EM+CM的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{26}$
• B． $\sqrt{27}$
• C． $\sqrt{28}$
• D． $\sqrt{32}$

Answer 1

分析 要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解．

解答 解：连接BE，与AD交于点M．则BE就是EM+CM的最小值．
取CE中点F，连接DF．
∵等边△ABC的边长为6，AE=2，
∴CE=AC-AE=6-2=4，
∴CF=EF=AE=2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DF是△BCE的中位线，
∴BE=2DF，BE∥DF，
又∵E为AF的中点，
∴M为AD的中点，
∴ME是△ADF的中位线，
∴DF=2ME，
∴BE=2DF=4ME，
∴BM=BE-ME=4ME-ME=3ME，
∴BE=$\frac{4}{3}$BM．
在直角△BDM中，BD=$\frac{1}{2}$BC=3，DM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BM=$\sqrt{B{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴BE=$\frac{4}{3}$．
∵EM+CM=BE
∴EM+CM的最小值为2$\sqrt{7}$．
故选C．

点评 此题考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是本题的关键．