Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点A为（5，0），点B为（-5，0），点C为（3，-4），点D为第一象限上的一个动点，且OD=5．
①∠ACB=90度；
②若∠AOD=50°，则∠ACD=25度．

Answer 1

分析 ①利用勾股定理结合A、B、C三点坐标可得BC、AB、AC的长，再利用勾股定理逆定理可证出∠ACB=90°；
②首先连接OC，利用勾股定理计算出CO的长，进而可得B、C、D都在以O为圆心，半径为5的圆上，再根据圆周角定理可得∠ACD的度数．

解答 解：①∵点A为（5，0），点B为（-5，0），点C为（3，-4），
∴AB=10，BC=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{80}$=4$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
∵（4$\sqrt{5}$）²+（2$\sqrt{5}$）²=10²，
∴BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
故答案为：90；

②连接OC，
∵点C为（3，-4），
∴CO=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵OD=5，
∴B、C、D都在以O为圆心，半径为5的圆上，
∵∠AOD=50°，
∴∠ACD=25°，
故答案为：25°．

点评 此题主要考查了勾股定理逆定理，以及圆周角定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．