Question

10．如图，∠BAC=90°，BF平分∠ABC交AC于F，EF⊥BC于E，AD⊥BC于D，交BF于G．求证：四边形AGEF为菱形．

Answer 1

分析 先证明四边形AGEF是平行四边形，根据AF=EF即可证得．

解答 证明：∵BF平分∠ABC，
∴AF=EF．
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADE=∠FEC=90°，
∴AD∥EF，
∴∠AGF=∠BFE．
∵Rt△ABF和Rt△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=EF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$
∴Rt△ABF≌Rt△EBF，
∴∠AFB=∠BFE，
∴∠AGF=∠AFG，
∴AG=AF，
∴AG=EF，
又∵AG∥EF，
∴四边形AGEF是平行四边形．
∵AF=EF，
∴平行四边形AGEF是菱形．

点评 本题考查菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的性质等知识，寻找全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．