Question

5．如图在矩形纸片ABCD中．
（1）在图（1）中将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下．若AB=8，AD=6，求折痕的长．
（3）在图（2）中将矩形ABCD沿对角线BD对折，用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（4）在（3）的条件下，若BC=10，AB=5．求AO的长．（O为对角线BD中点）

Answer 1

分析 （1）以线段AC的垂直平分线为对称轴，翻折即可．
（2）由△AFO≌△CEO，推出OE=FO，由∠ECO=∠ACD，∠EOC=∠D=90°，由△EOC∽△ADC，可得$\frac{OE}{AD}$=$\frac{OC}{DC}$，由此即可求出OE解决问题．
（3）将矩形ABCD沿对角线BD对折即可．
（4）利用勾股定理求出AC即可解决问题．

解答 解：（1）折叠后的图形如图1所示．


（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AB=DC=8，AD=BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵AB∥DC，
∴∠AFO=∠CEO，
∵OA=OC=5，∠AOF=∠EOC，
∴△AFO≌△CEO，
∴OE=FO，
∵∠ECO=∠ACD，∠EOC=∠D=90°，
∴△EOC∽△ADC，
∴$\frac{OE}{AD}$=$\frac{OC}{DC}$，
∴$\frac{OE}{6}$=$\frac{5}{8}$，
∴OE=$\frac{15}{4}$，
∴EF=2OE=$\frac{15}{2}$，
∴折痕EF的长为$\frac{15}{2}$．

（3）如图2中，折叠后的图形如图所示，


（4）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OC=OC，OB=OD，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质．相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．