Question

15．如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边△ABD，等边△BCE，等边△ACF，连接DE，EF．求证：四边形ADEF是平行四边形．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质推出∠BCE=∠FCA=60°，求出∠BCA=∠FCE，证△BCA≌△ECF，推出AD=EF=AB，同理得出DE=AF，即可得出结论．

解答 证明：∵△BCE、△ACF、△ABD都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=CF，BC=CE，∠BCE=∠ACF，
∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE，
即∠BCA=∠FCE，
在△BCA和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CE}\\{∠BCA=∠ECF}\\{AC=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCA≌△ECF（SAS），
∴AB=EF，
∵AB=AD，
∴AD=EF，
同理：△BDE≌△BAC，
∴DE=AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出△BCA≌△ECF是解题关键．