题目内容
已知：如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点．动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿着OA、AB、BD运动．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜13）．
（1）直线y=kx+b与DO平行，当它与矩形OABC有公共点时，直接写出b的取值范围；
（2）写出△POD的面积S与t之间的函数关系式，并求出△POD的面积等于9时点P的坐标；
（3）当点P在OA上运动时，连结CP．问：是否存在某一时刻t，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点M处？若存在，请求出t的值并判断此时△CPM的形状；若不存在，请说明理由；
（4）当点P在AB上运动时，试探索当PO+PD的长最短时的直线PD的表达式．
（1）直线y=kx+b与DO平行，当它与矩形OABC有公共点时，直接写出b的取值范围；
（2）写出△POD的面积S与t之间的函数关系式，并求出△POD的面积等于9时点P的坐标；
（3）当点P在OA上运动时，连结CP．问：是否存在某一时刻t，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点M处？若存在，请求出t的值并判断此时△CPM的形状；若不存在，请说明理由；
（4）当点P在AB上运动时，试探索当PO+PD的长最短时的直线PD的表达式．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据矩形的性质得OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，然后分三种情况求解：当0＜t≤6，如图1，OP=t，根据三角形面积公式得S=2t，再求出S=9所对应的t的值，然后写出此时P点坐标；当6＜t≤10，如图2，则AP=t-6，BP=10-t，利用S=S矩形ABCD-S△OCD-S△OAP-S△BPD得到S=-
t+21，再求出S=9所对应的t的值，然后写出此时P点坐标；当10＜t＜13，如图3，则PB=13-t，根据三角形的面积公式求解；
（2）如图4，E点为AB的中点，根据旋转的性质得PC=PE，在Rt△POC和Rt△PAE中，利用勾股定理列方程求解；
（3）找到点O关于AB所在直线对称的点的坐标后连接点O的对称点和点D与AB的交点即为点P，然后利用待定系数法确定直线PD的解析式即可．
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（2）如图4，E点为AB的中点，根据旋转的性质得PC=PE，在Rt△POC和Rt△PAE中，利用勾股定理列方程求解；
（3）找到点O关于AB所在直线对称的点的坐标后连接点O的对称点和点D与AB的交点即为点P，然后利用待定系数法确定直线PD的解析式即可．
解答：解：（1）∵矩形OABC的顶点A（6，0）、B（6，4），D是BC的中点，
∴OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，
当点P在OA上运动时，即0＜t≤6，如图1，OP=t，S=
•t•4=2t；
∵S=9，
∴2t=9，解得t=4.5，
∴此时P点坐标为（4.5，0）；
当点P在AB上运动时，即6＜t≤10，如图2，AP=t-6，BP=10-t，S=S矩形ABCD-S△OCD-S△OAP-S△BPD
=4×6-
•4×3-
•6•（t-6）-
•3•（10-t）
=-
t+21；
∵S=9，
∴-
t+21=9，解得t=8，
∴此时P点坐标为（6，2）；
当点P在BD上运动时，即10＜t＜13，如图3，PB=13-t，S=
•（13-t）•4=-2t+26；
∵S=9，
∴-2t+26=9，解得t=7.5（不合题意舍去）；
（2）存在．
如图4，E点为AB的中点，
∵CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点，
∴PC=PE，
在Rt△POC中，OC=4，OP=t，
∴PC2=OP2+OC2=t2+42，
在Rt△PAE中，AE=2，PA=6-t，
∴PE2=PA2+AE2=（6-t）2+22，
∴t2+42=（6-t）2+22，解得t=2，
即当t=2s时，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点处．
（3）根据题意得：点O关于直线AB的对称点的坐标为O′的坐标为：（12，0），
连接O′D交AB于点P，此时PD+PO最短；
设PD的解析式为y=kx+b，
得：
，
解得：
．
则直线PD的表达式是y=-
x+
．
∴OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，
当点P在OA上运动时，即0＜t≤6，如图1，OP=t，S=
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∵S=9，
∴2t=9，解得t=4.5，
∴此时P点坐标为（4.5，0）；
当点P在AB上运动时，即6＜t≤10，如图2，AP=t-6，BP=10-t，S=S矩形ABCD-S△OCD-S△OAP-S△BPD
=4×6-
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∵S=9，
∴-
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∴此时P点坐标为（6，2）；
当点P在BD上运动时，即10＜t＜13，如图3，PB=13-t，S=
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∵S=9，
∴-2t+26=9，解得t=7.5（不合题意舍去）；
（2）存在．
如图4，E点为AB的中点，
∵CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点，
∴PC=PE，
在Rt△POC中，OC=4，OP=t，
∴PC2=OP2+OC2=t2+42，
在Rt△PAE中，AE=2，PA=6-t，
∴PE2=PA2+AE2=（6-t）2+22，
∴t2+42=（6-t）2+22，解得t=2，
即当t=2s时，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点处．
（3）根据题意得：点O关于直线AB的对称点的坐标为O′的坐标为：（12，0），
连接O′D交AB于点P，此时PD+PO最短；
设PD的解析式为y=kx+b，
得：
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解得：
|
则直线PD的表达式是y=-
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点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握矩形的性质和旋转的性质；会利用勾股定理和三角形的面积公式进行几何计算；理解坐标与图形的性质；学会解决有关动点的问题．
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