Question

如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与A，B重合），过C作AB的垂线交半圆于点D，以点D，C，O为顶点作矩形DCOE．若AB=10，设AC=x，矩形DCOE的面积为y，写出y与x的函数关系式．

Answer 1

考点：矩形的性质,函数关系式,圆的认识

专题：

分析：如图，按点C在半径OA或半径OB上两种情况分类讨论；首先运用射影定理求出DC的长度，借助矩形的面积公式即可解决问题．

解答：解：如图，当点C在半径OA上时，连接AD、BD；
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，而DC⊥AB，
∴DC²=AC•BC，而AC=x，BC=10-x，
∴DC=

-x2+10x

，而OC=5-x，
∴y=（5-x）

-x2+10x

；
当点C在半径OB上，即点C′的位置时，
同理可求：y=（x-5）

-x2+10x

，
综上所述，y与x的函数关系式为：
y=

(5-x) -x2+10x ，0＜x＜5 (x-5) -x2+10x ，5＜x＜10

．

点评：该题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、矩形的面积公式等几何知识点及其应用问题；作辅助线，牢固掌握圆周角定理及其推论、射影定理等几何知识点是解题的关键．