Question

如图，在△ABC中，D是AC的中点，过A、B、D三点的⊙O交BC于E且点D是弧

AE

的中点．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）若AB=5，AC=6．求AE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理，由点D是弧

AE

的中点得到∠ABD=∠CAD，根据等腰三角形判定方法可得△ABC为等腰三角形，则BD⊥AC，然后根据圆周角定理即可得到AB为⊙O的直径；
（2）在Rt△ADB中利用勾股定理计算出BD=4，再利用△ABC为等腰三角形得到BC=BA=5，根据圆周角定理得到∠AEB=90°，然后利用面积法可计算出AE的长．

解答：（1）证明：∵点D是弧

AE

的中点，
∴

DE

=

DA

，
∴∠ABD=∠CAD，
∵D是AC的中点，
∴△ABC为等腰三角形，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴AB为⊙O的直径；
（2）解：∵AC=6，
∴AD=3，
在Rt△ADB中，∵AB=5，AD=3，
∴BD=

AB2-AD2

=4，
∵△ABC为等腰三角形，
∴BC=BA=5，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴

1

2

AE•BC=

1

2

BD•AC，
∴AE=

4×6

5

=

24

5

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆心角、弧、弦的关系和勾股定理．