Question

14．已知∠BAC=90°，四边形ADEF是正方形且边长为1，则$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{BC}$+$\frac{1}{CA}$的最大值为1+$\frac{\sqrt{2}}{4}$，简述理由（可列式）：$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{BC}$+$\frac{1}{CA}$的最大值=1+$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由四边形ADEF是正方形，得到AD=AF=1，DE∥AC，AD∥EF，于是得到$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{BC}$+$\frac{1}{CA}$=1+$\frac{1}{BC}$，由勾股定理得到BC²=（BD+1）²+（CF+1）²=BD²+CF²+2（BD+CF）+2，根据全平方公式得到BC²=BD²+CF²+2（BD+CF）+2≥2BD•CF+4$\sqrt{BD•CF}$+2，根据相似三角形的性质得到BD•CF=1，于是得到BC的最小值=2$\sqrt{2}$，即可得到结论．

解答 解：1+$\frac{\sqrt{2}}{4}$；理由：
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF=1，DE∥AC，AD∥EF，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{CE}{BC}，\frac{AF}{AC}=\frac{BE}{BC}$，
∴$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{BC}$+$\frac{1}{CA}$=$\frac{AD}{AB}+\frac{AF}{AC}+\frac{1}{BC}$=$\frac{CE}{BC}+\frac{BE}{BC}$+$\frac{1}{BC}$=1+$\frac{1}{BC}$，
∵BC²=（BD+1）²+（CF+1）²=BD²+CF²+2（BD+CF）+2，
∵BD²+CF²≥2BD•CF，BD+CF=$\sqrt{（BD+CF）^{2}}$=$\sqrt{B{D}^{2}+C{F}^{2}+2BD•CF}$$≥\sqrt{4BD•CF}$，
∴BC²=BD²+CF²+2（BD+CF）+2≥2BD•CF+4$\sqrt{BD•CF}$+2，
∵△BDE∽△EFC，
∴$\frac{BD}{EF}=\frac{DE}{CF}$，
∴BD•CF=1，
BC²≥2+2BD•CF+$4\sqrt{BD•CF}$=8，
∴BC的最小值=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{BC}$+$\frac{1}{CA}$的最大值=1+$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：1+$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{BC}$+$\frac{1}{CA}$的最大值=1+$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线分线段成比例定理，完全平方公式，证得BC²≥2+2BD•CF+$4\sqrt{BD•CF}$=8是解题的关键．