Question

4．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，作AF⊥AD，AF=AD，得到△AFB，连接EF．
求证：
（1）BF=CD
（2）BE²+DC²=DE²．

Answer 1

分析 （1）只要证明△FAB≌△DAC，即可推出BF=CD．
（2）只要证明△EAD≌△EAF，推出ED=EF．在Rt△BEF中，利用勾股定理即可证明．

解答 证明：（1）∵AF⊥AD，
∴∠FAD=∠BAC=90°，
∴∠FAB=∠DAC，
在△FAB和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AD}\\{∠FAB=∠DAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△DAC，
∴BF=CD．

（2）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°
∵△FAB≌△DAC，
∴∠ABF=∠C=45°，
∴∠EBF=∠ABC+∠ABF=90°，
∵∠EAD=45°，
∴∠BAE+∠DAC=∠BAE+∠BAF=∠EAF=45°，
∴∠EAD=∠EAF，
在△EAD和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=EA}\\{∠EAD=∠EAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△EAF，
∴ED=EF．
在Rt△BEF中，∵EF²=BF²+BE²，EF=ED，BF=CD，
∴BE²+DC²=DE²．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把发散的条件集中到一个三角形中，属于中考常考题型．