Question

9．如图，把两个含有45°的三角尺如图放置，∠ECD=ACB=90°，且AB=AE，连接AD交BE于点P，试说明：
（1）AD=BE；
（2）AD平分∠BAE．

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△ECD为含45°的直角三角形，由此即可得出EC=DC、BC=AC，结合∠ECB=∠DCA=90°即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△BCE≌△ACD，再根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由△BCE≌△ACD即可得出∠EBC=∠DAC，根据∠EBC+∠BEC=90°即可得出∠DAC+∠BEC=90°，结合三角形内角和定理即可得出∠APE=90°，再利用等腰三角形的三线合一即可证出AD平分∠BAE．

解答 证明：（1）∵两个含有45°的三角尺如图放置，∠ECD=ACB=90°，
∴EC=DC，BC=AC．
在△BCE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠ECB=∠DCA=90°}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE．
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC=∠DAC．
∵∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠BEC=90°，
∴∠APE=90°，即AP⊥BE．
又∵AB=AE，
∴AD平分∠BAE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定义等腰直角三角形以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS证出△BCE≌△ACD；（2）通过角的计算找出AP⊥BE．