Question

3．半径为1的两圆放置位置如图所示，一圆的直径恰好是另一圆的切线，圆心均为切点，则阴影部分的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 如图，连接AO₁，BO₁，AO₂，BO₂，O₁O₂，AB，于是得到四边形AO₁BO₂是菱形，△AO₁O₂是等边三角形，求得∠O₁AO₂=60°，∠AO₁B=120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：如图，连接AO₁，BO₁，AO₂，BO₂，O₁O₂，AB，
则四边形AO₁BO₂是菱形，△AO₁O₂是等边三角形，
∴∠O₁AO₂=60°，∠AO₁B=120°，
∴S${\;}_{弓形A{O}_{1}B}$=S${\;}_{扇形A{O}_{2}B}$-S${\;}_{△AB{O}_{2}}$=$\frac{120•π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴阴影部分的面积=S_半圆-2S${\;}_{弓形A{O}_{1}B}$=$\frac{π}{2}$-2（$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$；

点评 本题考查了扇形的面积的计算，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．